Vibraciones y ondas

Ejercicio 01 - Una molécula biatómica

Las vibraciones de una molecula biatómica se pueden estudiar suponiendo un modelo sencillo consistente en dos masas $m_a$ y $m_b$ unidad con un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural $l_o$. Si inicialmente se comprime el muelle y se deja oscilar libremente el sistema, las dos masas se mueven con igual frecuencia. Suponiendo que el centro de masas está en reposo determine:

1. Las ecuaciones del movimiento de ambas masas
2. La frecuencia característica del sistema
3. La razón entre las amplitudes de oscilación de ambas masas

Solución

Apartado a

Situemos nuestro sistema de referencia en el centro de masas (CM). La masa $m_a$ está situada en la coordenada $x_a$ y la masa $m_b$ en la coordenada $x_b$.

Como no hay fuerzas externas el momento lineal se conserva y por tanto la velocidad del CM es constante. Como nos dicen que el CM está incialmente en reposo continuará en reposo, por tanto, $x_{cm} = 0$ $$ x_{cm} = \frac{m_a x_a + m_b x_b}{m_a + m_b} = 0 \longrightarrow m_a x_a + m_b x_b = 0 \label{eq1}\tag{1} $$ Sea $\Delta x_a$ el desplazamiento de $m_a$ respecto a su posición de reposo, positivo cuando el muelle tira hacia dentro (hacia el centro de masas y sea $\Delta x_b$ lo mismo para $m_b$ $$ \begin{align} \Delta x_a &= -x_a - r_{cm} \\ \Delta x_b &= x_b - (l_o - r_{cm}) \end{align} $$ siendo $r_{cm}$ la distancia de $m_a$ al CM.

Aplicando la segunda ley de Newton a las masas $m_a$ y $m_b$ tenemos $$ \begin{align} m_a \frac{d^2\Delta x_a}{dt^2} &= -k(\Delta x_a + \Delta x_b) \\ m_b \frac{d^2\Delta x_b}{dt^2} &= -k(\Delta x_a + \Delta x_b) \end{align} $$ reescribimos $$ \begin{align} \frac{d^2\Delta x_a}{dt^2} &= -\frac{k}{m_a}(\Delta x_a + \Delta x_b) \\ \frac{d^2\Delta x_b}{dt^2} &= -\frac{k}{m_b}(\Delta x_a + \Delta x_b) \end{align} $$ sumando ambas ecuaciones tenemos $$ \frac{d^2}{dt^2}(\Delta x_a + \Delta x_b) = -k (\frac{1}{m_a} + \frac{1}{m_b})(\Delta x_a + \Delta x_b) \\ $$ la suma $\Delta x_a + \Delta x_b$ es $$ \Delta x_a + \Delta x_b = x_b - x_a - l_o $$ llamamos $\mu$ a la masa reducida del sistema $$ \mu = \frac{m_a m_b}{m_a + m_b} $$ reescribiendo tenemos $$ \frac{d^2}{dt^2}(x_b-x_a+l_o) = -\frac{k}{\mu} (x_b-x_a+l_o) $$ haciendo el cambio de variable $q = x_b - x_a - l_o$ reescribimos la ecuación diferencial como $$ \ddot{q} + \frac{k}{\mu}q = 0 $$ reconocemos aquí la ecuación de movimiento de un oscilador armónico simple libre no amortiguado de frecuencia $\omega_0 = (k/\mu)^{1/2}$ cuya solución es bien conocida, por lo tanto, hemos averiguado que $$ q = x_b - x_a - l_o = A\cos(\omega_0 t + \theta) \label{eq2}\tag{2} $$ donde $A$ y $\theta$ se determinan a partir de las condiciones iniciales del sistema. Deshaciendo el cambio de variable y usando $(\ref{eq1})$ y $(\ref{eq2})$ tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones $$ \left. \begin{align} m_a x_a + m_b x_b &= 0 \\ x_b - x_a - l_o &= A\cos(\omega_0t+\theta) \end{align} \right\} $$ cuya solución es $$ \boxed{ \begin{align} x_a &= -\frac{m_b}{m_a+m_b}l_o - \frac{m_b}{m_a+m_b} A\cos(\omega_0t+\theta) \\ x_b &= +\frac{m_a}{m_a+m_b}l_o + \frac{m_a}{m_a+m_b} A\cos(\omega_0t+\theta) \end{align} } $$

Apartado b

Del apartado a vemos que la frecuencia natural de oscilación $\omega_0$ en rad/s es $$ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{\mu}} = \sqrt{\frac{k(m_a+m_b)}{m_am_b}} $$ expresado en Hz es $$ \nu = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k(m_a+m_b)}{m_a m_b}} $$

Apartado c

Del apartado a vemos que la amplitud de oscilación de $m_a$ es $$ A_a = \frac{-m_b}{m_a+m_b} A $$ y la de $m_b$ es $$ A_b = \frac{m_a}{m_a+m_b} A $$ la razón entre las amplitudes es por tanto $$ \frac{A_a}{A_b} = -\frac{m_b}{m_a} $$