Vibraciones y ondas - Ondas

Definiciones

Sea $\Psi$ una variable que representa un desplazamiento lineal, angular, una deformación mecánica, el valor de un campo de fuerza, etc. Una perturbación de $\Psi$ que se propaga es una onda que satistace la ecuación de onda clásica (medio no dispersivo).

Ecuación de onda 1D	$\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}$
Ecuación de onda 2D	$\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}$
Ecuación de onda 3D	$ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}$

Solución básica: Onda armónica viajera

La solución básica de la ec. de onda es la onda viajera armónica, cuya expresión más general es $$ y(x,t) = A \sin\left( \frac{2\pi}{\lambda} (x-vt) + \phi \right) = A \sin\left( kx - kvt + \phi \right) = A \sin\left( kx - \omega t + \phi \right) $$

el signo $-$ indica que se propaga hacia la derecha, en el sentido creciente del eje $x$
el signo $+$ indica que se propaga hacia la izquierda, en el sentido decreciente del eje $x$
$\phi$ es una constante ajustable fijar el valor de la onda en $y(x=0, t=0)$

$$ v = \frac{\omega}{k} = \frac{\nu}{k'} = \nu \lambda $$ El número de ondas $k$ suele especificarse como $k=2\pi/\lambda$ o a veces como $k'=1/\lambda$.

Equivalencias
Espacio		Tiempo
$\lambda$	$\longleftrightarrow$	$T$
$k$	$\longleftrightarrow$	$\omega$
$k'$	$\longleftrightarrow$	$\nu$

Onda estacionaria como superposición de ondas viajeras

Supoerponiendo ondas armónicas viajeras se puede obtener la solución vibración estacionaria que tiene la forma general $$ y(x,t)=f(x)\cos(\omega_m t + \beta_m) $$ La solución estacionaria correspondiente a un solo modo normal m-ésimo es $$ y_s(x, t) = \color{blue}{A_m}\sin(\color{red}{k_m} x + \color{red}{\alpha_m})\cos(\omega_m t + \color{blue}{\beta_m}) $$

$\color{blue}{A_m}$ y $\color{blue}{\beta_m}$ vienen determinadas por las condiciones iniciales
$\color{red}{k_m}$ y $\color{red}{\alpha_m}$ vienen determinadas por las condiciones de contorno
$\omega_m$ viene determinada por la relación de dispersión del medio: $\omega_m = v_p k_m$

Por ejemplo: concretamente, en una cuerda de longitud $L$ con ambos extremos fijos (CC) la solución estacionaria es $$ y_s(x, t) = A_m\sin\left(\frac{m\pi}{L}x\right)\cos(\omega_m t + \beta_m) $$ La solución $y_s(x, t)$ puede escribirse (es una consecuencia del principio de superposición) como superposición de otras soluciones de la ec. onda, por ejemplo, usando ondas viajeras: $$ y_s(x, y) = \frac{f(x)}{2}\sin\left( \frac{2\pi}{\lambda} (x-vt) \right) + \frac{f(x)}{2}\sin\left( \frac{2\pi}{\lambda} (x+vt) \right) $$

Ondas estacionarias en cuerdas, varillas y tubos de gas

Las condiciones de contorno imponen las siguientes restricciones sobre la longitud de onda de la solución estacionaria en una cuerda/varilla/tubo (CVT) de longitud $L$:

Restricción sobre $\lambda$ en distintas situaciones.
CVT ambos extremos fijos (CC). En un tubo de aire significa extremo tapado; desplazamiento nulo, presión máxima.	$n\frac{\lambda}{2} = L \quad n=1,2,3...$
CVT un extremo fijo y el otro libre (CA)	($2n+1)\frac{\lambda}{4} = L \quad n=0,1,2...$
CVT con ambos extremos libres (AA)	$n\frac{\lambda}{2} = L$. Es como el caso de ambos extremos fijos pero intercambiando nodos y vientres.

Superposición. Pulsos. Velocidad de fase y de grupo. Dispersión.

Un pulso es una forma de onda formada por la superposición de muchas (infinitas) frecuencias y locallizada en el espacio (eje $x$). Si el medio es no dispersivo entonces se propaga sin deformarse. Si el medio es dispersivo cada frecuencia de que está compuesto viaja a una velocidad diferente y el pulso se ensancha a medida que se desplaza.

Pulsos viajeros que no se deforman

Un pulso que viaja sin deformarse tiene la forma general $f(x \pm vt)$, con signo $-$ si se propaga hacia la derecha y signo $+$ si lo hace hacia la izquierda. Ejemplo: $$ y(x, t) = \frac{b^3}{b^2 + (2x-ut)^2} = \frac{b^3}{b^2 + (2( \color{green}{x-\frac{u}{2}t} ))^2} $$ al reescribir la expresión del puslo queda expuesta la velocidad con la que viaja, que en este caso concreto es $u/2$. La forma concreta del pulso no importa, solo importa que pueda escribirse en la forma $f(x \pm vt)$

Medios dispersivos

TODO

Velocidad en algunos medios

Velocidad de fase de una onda en distintos medios
Medio	$v$
Cuerda de longitud $L$, tensión $T$ y densidad lineal de masa $\mu=M/L$	$\sqrt{\frac{T}{\mu}}$
Varilla con módulo de Young $Y$ y densidad $\rho$	$\sqrt{\frac{Y}{\rho}}$
Gas de densidad $\rho$, presión $P$ y coeficiente adiabático $\gamma$	$\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$

El fenómeno del corte

La energía de una onda mecánica

Transporte de energía y cantidad de movimiento de una onda

Ondas en 2D y 3D

En 3D

Un onda plana se expresa de manera general como: $$ \vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{E} (\vec{r}) e^{-i\omega t} = \vec{E_0} e^{-i(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} - \delta)} $$ Una onda esférica se expresa de manera general como: $$ \vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{E} (\vec{r}) e^{-i\omega t} = \frac{1}{r}\vec{E_0} e^{-i(\omega t - kr - \delta)} $$ donde $r$ se refiere al módulo del radiovector $\vec{r}$