VYO - Dinámica del MAS. Amortiguación. Resonancia.

Definiciones

Tensión mecánica

Fuerza / Área, $\sigma = F / A$

Módulo de Young

Caracteriza el comportamiento de un material elástico, se define como $Y = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{F/S}{\Delta L/L}$
siendo $\sigma$ la tensión mecánica aplicada y $\epsilon$ la deformación unitaria o relativa del material

Oscilador libre no amortiguado

$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$

Oscilador libre amortiguado

$\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0$

Oscilador forzado no amortiguado

$\ddot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega t + \alpha_0)$

Oscilador forzado amortiguado

$\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega t + \alpha_0)$

No es físicamente posible un oscilador no amortiguado. Todos tienen en mayor o menor grado un coeficiente de amortiguamiento. Los modelos no amortiguados tienen un interés principalmente matemático.

Método general para EDOs lineales homogéneas de grado 2 con coeficientes constantes

$$ \lambda^2 + 2\gamma\lambda + \omega_0^2 = 0 \\ \lambda = -\gamma \pm i\omega_\gamma \longrightarrow \lambda_1, \lambda_2 $$ $$ x(t) = C_1e^{\lambda_1 t} + C_2e^{\lambda_2 t} $$ aplicando las condiciones iniciales obtenemos un sistema de ecuaciones algebráicas con el que obtenemos $C_1$ y $C_2$

Oscilador libre no amortiguado

Es una caso particular del oscilador amortiguado (con $\gamma = 0$)

Oscilador libre amortiguado

Muelle vs amortiguador

Un muelle ejerce una fuerza directamente proporcional ($k$) al desplazamiento relativo de los extremos mientras que un amortiguador ejerce una fuerza directamente proporcional ($b$) a la velocidad relativa de sus extremos. El vector fuerza es siempre opuesto al vector velocidad. $$ \begin{align} F_k &= -k (x_2 - x_1) \\ F_b &= -b \frac{d}{dt}(x_2 - x_1) = -b (v_2 - v_1) \\ \end{align} $$

Factor de calidad $Q$ y amortiguamiento $\zeta$

Está relacionado con la energía que se pierde en cada periodo del oscilador: $$ Q = 2\pi\frac{E_{total}}{E_{perdida-por-periodo}} = \frac{1}{2}\frac{\omega_0}{\gamma} = \frac{1}{2}\frac{1}{\zeta} $$ En un oscilador armónico la energía total es $E_0 = \frac{1}{2}kA^2$ y el decaimiento de esta energía total por disipación (solo en el caso de amortiguamiento subcrítico, si no no habría oscilación) es $E(t) = E_0e^{-2\gamma t}$

Niveles de amortiguamiento $\gamma$

• Subcrítico: $\gamma^2 < \omega_0^2$
  En este caso la oscilación se desvanece paulatinamente, los cruces por cero no están exactamente en el punto medio entre el mínimo y el máximo. La solución tiene la forma $$ x(t) = C e^{-\gamma t} \sin(\omega_\gamma t + \delta) = C e^{-\gamma t} \cos\left(\omega_\gamma t + \delta - \frac{\pi}{2}\right) \\ \omega_\gamma = \sqrt{ \omega_0^2 - \gamma^2 } \\ C^2 = x_0^2 + \frac{(v_0 + \gamma x_0)^2}{\omega_\gamma^2} \\ \delta = arctan\left(\frac{\omega_\gamma x_0 }{ v_0 + \gamma x_0}\right) \\ $$
  • tiempo de relajación $\tau$
  • decremento logarítmico de la amplitud $\Delta$
  • coeficiente de amortiguación $\zeta = \gamma/\omega_0$
• Crítico: $\gamma^2 = \omega_0^2$
  En este caso no hay oscilación. La solución tiene la forma $$ x(t) = (A_1 + A_2 t)e^{-\gamma t} $$
• Supercrítico: $\gamma^2 > \omega_0^2$
  En este caso no hay oscilación. La solución tiene la forma $$ \begin{align} x(t) &= A_1 e^{-(\gamma + \beta)t} + A_2 e^{-(\gamma - \beta)t} \\ \beta &= \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} \\ \end{align} $$

Oscilador forzado no amortiguado

Es una caso particular del oscilador forzado amortiguado (con $\gamma = 0$)

Forzamiento: régimen transitorio y régimen permanente

En el modelo del oscilador forzado amortiguado la solución es realmente la suma de dos términos

• la solución de la ecuación homogénea $x_h(t)$
• una solución particular $x_p(t)$

Oscilador forzado amortiguado

Al aplicar una fuerza oscilante $F_0\cos(\omega t + \alpha_0)$ en el término independiente de la ecuación del sistema la solución tiene dos partes: $$ x(t) = \color{blue}{x_h(t)} + \color{green}{x_p(t)} = \color{blue}{C e^{-\gamma t}\sin(\omega_\gamma t + \delta)} + \color{green}{ A \sin(\omega t + \alpha_0 + \beta) } $$

• un término $x_h$ evanescente multiplicado por $e^{-\gamma t}$ que corresponde a la ecuación homogénea y por lo tanto es la misma que la del oscilador libre (amortiguado o no). Es importante durante el régimen transitorio. La amplitud $C$ y constante de fase $\delta$ depende de las condiciones iniciales ($t=0$), ojo, a dichas condiciones iniciales contribuye también la componente estacionaria $x_p(t)$
• un término $x_p$ permanente que tiene la misma frecuencia $\omega$ que la frecuencia forzante. Es el término que corresponde al régimen sinusoidal permanente. Esta componente de la solución no depende de las condiciones iniciales ($t=0$)

Vamos a ocuparnos del término permanente:
La amplitud de oscilación $A$ depende de la relación entre la frecuencia natural $\omega_0$ y la frecuencia forzante $\omega$ $$ A = \frac{F_0/m}{\sqrt{ (\omega^2-\omega_0^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2 }} \qquad \beta = -arctan\left( \omega^2-\omega_0^2 \over 2\gamma\omega \right) $$ Si la solución es en forma de coseno entonces hay que invertir la fracción de la expresión de $\beta$. En la literatura se pueden encontrar numerosas variantes de esta expresión dependiendo de si $\beta$ aparece sumando o restando, de si es seno o coseno, etc.

Concepto de ganancia o factor de amplificación de un oscilador forzado: $$ F_{amp} = \frac{A}{\delta_{est}} = \frac{A}{\frac{F_0/m}{\omega_0^2}} = \frac{1}{\sqrt{ \left(1-(\frac{\omega}{\omega_0})^2\right)^2 + \left(2\zeta\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 }} $$

Energía y potencia en el oscilador forzado. Resonancia.

Potencia suministrada por la fuerza externa $$ P(t) = F(t) \dot{x}(t) $$ La potencia absorbida tiene ciclos en que es positiva y luego negativa, eso significa que la energía absorbida por el sistema luego se devuelve a la fuente. La potencia disipada es justamente la diferencia, por tanto, potencia absorbidad y potencia disipada no son lo mismo.

Tabla resumen de soluciones