VYO - Cinemática del MAS
Definiciones previas
- MAS = Movimiento Armónico Simple, es decir, de la forma $A\cos(\omega t+\phi)$.
- La relación de Eurler $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$ es una de las relaciones más importante en Matemática.
- Dos números reales $\omega_1$ y $\omega_2$ son conmensurables si su cociente $\omega_1/\omega_2$ puede expresarse como el cociente de dos números enteros $n_1/n_2$, es decir, $\omega_1/\omega_2 \in \mathbb{Q}$
Transformación fasorial o de Fresnel
Un fasor es un vector de $\mathbb{R}^2$ rotatorio con velocidad angular $\omega$ constante y del que solo
conservamos la información sobre su amplitud $A$ y su fase inicial $\theta$ (es decir, la fase en $t =
0$) expresada como número complejo en forma polar.
$$
A \left( \cos(\omega t + \theta), \sin(\omega t + \theta) \right) \longrightarrow Ae^{j\theta}
$$
Algunas transformadas básicas y la transformada inversa:
| Sinusoide | Fasor | |
| $x(t) = A\cos(\omega t + \theta)$ | $\longrightarrow$ | $\mathbf{x} = Ae^{j\theta}$ |
| $x(t) = A\sin(\omega t + \theta)$ | $\longrightarrow$ | $\mathbf{x} = Ae^{j(\theta - \pi/2)}$ |
| $x(t) = \text{Re}[\mathbf{x} e^{j\omega t}]$ | $\longleftarrow$ | $\mathbf{x}$ |
MAS físico
Todo MAS físico (no puramente matemático) debe tener una amplitud $A$ y una fase inicial $\phi$ correspondientes a una posición incial $x_0$ y velocidad incial $\dot{x}_0$. Es decir, para una $A$ y $\phi$ dados deberíamos ser capaces de obtener (despejar de un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas) unas condiciones iniciales $x_0$ y $\dot{x}_0$, de lo contrario el MAS no tiene un sentido físico. $$ \begin{align} A &= \sqrt{x_0^2 + \dot{x}_0^2 / \omega^2 } \\ \phi &= \arctan\left(-\frac{\dot{x}_0 }{x_0\omega}\right) \\ \end{align} $$
Expresión matemática de un MAS
Las siguientes expresiones son equivalentes
$$ \begin{align} A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t) &= C\sin(\omega t + \phi) \quad & C = \sqrt{A^2+B^2} \quad & \phi=\arctan(+B/A) \\ &= C\cos(\omega t + \phi) \quad & C = \sqrt{A^2+B^2} \quad & \phi=\arctan(-A/B) \\ \end{align} $$ $$ \begin{align} C\sin(\omega t + \phi) = A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t) \quad & A = +C\cos\phi \quad & B=C\sin\phi \\ C\cos(\omega t + \phi) = A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t) \quad & A = -C\sin\phi \quad & B=C\cos\phi \\ \end{align} $$Suma de vibraciones armónicas simples
No siempre que sumamos M.A.S. obtenemos un M.A.S. Pensemos en la superposición de ondas —de una sola frecuencia— en un punto del espacio, que da lugar al fenómeno de la interferencia. La suma no siempre es un M.A.S.: puede ser un batido, puede valer cero (interferencia destructiva), etc.
Suma de vibraciones paralelas
Sean unas vibraciones de la forma $$ \eqalign{ x_1(t) &= A_1\cos(\omega_1t + \theta_1) \\ x_2(t) &= A_1\cos(\omega_2t + \theta_2) \\ \vdots \\ } $$ superpuestas, es decir, sumadas, $x(t) = x_1(t) + x_2(t) + \cdots$Suma de dos vibraciones de igual $\omega$ e igual $A$
En este caso $\omega_1 = \omega_2$ y $A_1 = A_2 = A$, la suma vale $$ x = 2A\cos\left(\frac{\phi_2-\phi_1}{2}\right)e^{j\frac{\phi_1+\phi_2}{2}} $$
Suma de dos vibraciones de igual $\omega$ y distinta $A$
Usando los fasores correspondientes a las dos vibraciones tenemos $$ z_1 = A_1e^{j\phi_1} \\ z_2 = A_2e^{j\phi_2} $$ la suma es $$ z = z_1 + z_2 = Ae^{j\phi} $$ siendo $$ A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\delta \\ \delta = \phi_2 - \phi_1 $$
Caso particular: Suma de N vibraciones de igual $\omega$, igual $A$ y desfase constante $\delta$ entre ellas
Este caso particular es muy importante, aparece por ejemplo en el estudio de la interferencia entre N fuentes ondulatorias. Sean $N$ vibraciones armónicas de igual amplitud $A$ con desfase constante $\delta$ entre cada par de ellas $$ \eqalign{ x_0(t) &=& A\cos(\omega t) \\ x_1(t) &=& A\cos(\omega t + \delta) \\ x_2(t) &=& A\cos(\omega t + 2\delta) \\ &\hskip0.25em\vdots& \\ x_{N-1}(t) &=& A\cos\left(\omega t + (N-1)\delta\right) \\ } $$ la suma es $$ x(t) = A\frac{ \sin\left(\frac{N\delta}{2}\right) }{ \sin\left(\frac{\delta}{2}\right) } \cos\left(\omega t + \frac{N-1}{2}\delta\right) $$
Suma de dos vibraciones paralelas de distinta pero parecida $\omega$ e igual A
Sea $$ x(t) = A\cos(\omega_1t + \phi_1) + A\cos(\omega_2t + \phi_2) $$ ahora $\omega_1 \neq \omega_2$ pero $\omega_1 \approx \omega_2$, como las frecuencias no son iguales no podemos usar fasores para hacer el cálculo, los fasores son útiles solamente para sumar vibraciones de la misma frecuencia.
- Si $\omega_1/\omega_2$ es conmensurable la suma $x(t)$ es periódica, pero no es un MAS, se produce un fenómeno llamado batido.
- Si $\omega_1/\omega_2$ no es conmensurable, entonces $x(t)$ no es periódico.
Suma de dos vibraciones perpendiculares
Sean dos vibraciones $$ \eqalign{ x(t) &= A_x\cos(\omega_xt + \theta_x) \\ y(t) &= A_y\cos(\omega_yt + \theta_y) \\ } $$ que constituyen las coordenadas de un punto $P = (x(t), y(t))$, este punto $P$ se moverá con el tiempo $t$ y describirá una trayectoria en el plano. La curva resultante depende de las características de las vibraciones componentes. Se distinguen dos casos principales:
- Si las frecuencias $\omega$ son iguales entonces aparece una figura que puede ser una elipses, incluyendo los dos casos degenerados de ella: la circunferencia o una tramo de línea recta
- Si las frecuencias $\omega$ son distintas, $\omega_1$ y $\omega_2$ entonces aparecen unas figuras
llamadas Figuras de Lissajous que pueden ser cerradas o abiertas:
- Si $\omega_1$ y $\omega_2$ son conmensurables la curva es cerrada
- Si $\omega_1$ y $\omega_2$ no son conmensurables la curva es abierta lo que significa que no pasa nunca por el mismo punto con la misma velocidad, esto tiene como consecuencia que transcurrido el tiempo suficiente la curva acabará llenando todo el rectángulo de área $2A_1 \times 2A_2$
