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Ecuaciones de Fresnel

Ecuaciones de Fresnel.

Definiciones

Vector de Poynting (W/m^2):
$$ \vec{S} = c^2\epsilon_0 \vec{E} \times \vec{B} $$ En el caso de una onda plana armónica linealmente polarizada $\vec{E}=\vec{E_0}\cos(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)$ y $\vec{B}=\vec{B_0}\cos(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)$, el vector de Poynting es $\vec{S}=c^2\epsilon_0 \vec{E_0} \times \vec{B_0} \cos^2(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)$. A frecuencias ópticas ($\approx 10^{15}$ Hz) $S$ es una función extremadamente rápida, además, el coseno cuadrado es 2 veces más rápido que el coseno. La medida directa de su valor instantáneo es muy difícil y poco práctica, por eso, se usan un promediado: la irradiancia.

Irradiancia (W/m^2) de una onda electromagnética: $$ I = \frac{1}{2}\epsilon_0 c \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \left|\vec{E}(\vec{r}, t)\right|^2 dt $$

Ecuaciones de Fresnel

De un análisis electromagnético usando la ecuaciones de Maxwel- de una onda en una interfaz entre dos medios surgen de forma inmediata las ecuaciones de Fresnell, que relacionan ángulos y amplitud de la onda refleja y transmitida. Son las ecuaciones de Fresnell las que muestran, por ejemplo, porque casi cualquier superficie se comporta como un espejo cuando el ángulo de incidencia es casi 90º

Una onda electromagnética de frecuencia $\omega$ —monocromática— siempre puede descomponerse en la suma de dos ondas linealmente polarizadas y perpedicularres: una onda $\vec{E}_\bot$ con polarización perpendicular al plano de incidencia y otra onda $\vec{E}_\parallel$ con polaración paralela a dicho plano. Cada una de estas dos ondas componentes tiene un coeficiente de reflexión y transmisión distinto: $$ \vec{E}(r, t) = \vec{E}_\bot(r, t) + \vec{E}_\parallel(r, t) $$

Coeficientes de reflexión y transmisión de amplitud

Los coeficientes de reflexión $r\bot$ y de transmisión $t_\bot$ para la amplitud de la onda perpendicular al plano de incidencia son:

$$ \begin{align} r_\bot &= \left( \frac{E_{0r}}{E_{0i}} \right)_{\bot} = \frac{n_i \cos \theta_i - n_t \cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i + n_t \cos \theta_t} = - \frac{\sin(\theta_i - \theta_t) }{ \sin(\theta_i + \theta_t) } \\ t_\bot &= \left( \frac{E_{0t}}{E_{0i}} \right)_{\bot} = \frac{2 n_i \cos \theta_i}{n_i \cos \theta_i + n_t \cos \theta_t} = + \frac{ 2\sin \theta_t \cos \theta_i }{ \sin(\theta_i + \theta_t) } \\ \end{align} $$

Los coeficientes de reflexión $r_\parallel$ y de transmisión $t_\parallel$ para la amplitud de la onda paralela al plano de incidencia son:

$$ \begin{align} r_\parallel &= \left( \frac{E_{0r}}{E_{0i}} \right)_{\parallel} = \frac{n_t \cos \theta_i - n_i \cos \theta_t}{n_i \cos \theta_t + n_t \cos \theta_i} = + \frac{\tan(\theta_i - \theta_t) }{ \tan(\theta_i + \theta_t) } \\ t_\parallel &= \left( \frac{E_{0t}}{E_{0i}} \right)_{\parallel} = \frac{2 n_i \cos \theta_i}{n_i \cos \theta_t + n_t \cos \theta_i} = + \frac{ 2\sin \theta_t \cos \theta_i }{\sin(\theta_i + \theta_t)\cos(\theta_i - \theta_t)} \end{align} $$

La expresión $t_\bot + (-r_\bot) = 1$ siempre es válida mientras que $t_\parallel + r_\parallel = 1$ sólo es válida para incidencia normal. En incidencia normal $t_\parallel = t_\bot = 2n_i/(n_i + n_t)$

Desplazamientos de fase

En la transmisión no se produce nunca un desplazamiento de fase.

En la reflexión, vea las gráficas en el Hecht, pág 121. Resumen:

  • Cuando el medio transmisor es más denso ópticamente que el medio incidente:
    • $E_\bot$ sufre un desplazamiento de fase de $\pi$ radianes, siempre.
    • $E_\parallel$ sufre un desplazamiento de fase de $\pi$ radianes sii $\theta_i > \theta_p$ (ángulo de polarización o de Brewster)
  • Cuando el medio transmisor es menos denso ópticamente que el medio incidente:
    • $E_\parallel$ sufre un desplazamiento de fase de $\pi$ radianes si $\theta_i < \theta_p$ (ángulo de polarización o de Brewster)
    • $E_\bot$ sufre un desplazamiento de fase gradual de $\Delta\phi_\bot$ radianes si $\theta_i > \theta_c$ (ángulo crítico o de reflexión total interna

Coeficientes de reflectancia y transmitancia de potencia

Los coeficientes de reflexión $r$ y de transmisión $t$ sirven para calcular la amplitud de campo eléctrico de las reflejada y transmitida, respectivamente. Los coeficientes de reflectancia $R$ y de transmitancia $T$ permiten calcular la potencia reflejada y transmitida, respectivamente.

$$ \begin{align} R_\parallel &= r_\parallel^2 \\ R_\bot &= r_\bot^2 \\ T_\parallel &= \frac{n_t \cos(\theta_t)}{n_i \cos(\theta_i)} t_\parallel^2 \\ T_\bot &= \frac{n_t \cos(\theta_t)}{n_i \cos(\theta_i)} t_\bot^2 \\ R_\parallel + T_\parallel &= 1 \\ R_\bot + T_\bot &= 1 \\ \\ T &= \frac{I_t \cos(\theta_t)}{I_i \cos(\theta_i)} \longrightarrow I_t = I_i T \frac{\cos(\theta_i)}{\cos(\theta_t)} \\ \end{align} $$ Obsérvese que $T$ no es simplemente igual a $t^2$, por dos razones:

  1. el cociente entre los índices de refracción tienen que estar presentes ya que la velocidad de transporte de la energía en ambos lados de la interfaz es diferente y
  2. el cociente entre los cosenos tiene que estar presente ya que el área transversal de los haces indicente y relejado es diferente y flujo de energía por aŕea unitaria se ve afectado correspondientemente.
Para el caso de luz natural (incoherente y con ambas polarizaciones con igual potencia) $$ R = \frac{1}{2}(R_\parallel + R_\bot) $$ Para indicencia normal ($\theta_i = 0$) $$ \begin{align} R_\bot = R_\parallel &= \left( \frac{ n_t - n_i }{ n_t + n_i } \right)^2 \\ T_\bot = T_\parallel &= \frac{ 4 n_t n_i }{ (n_t + n_i)^2 } \end{align} $$

Resultados útiles

Si un rayo polarizado linealmente atraviesa una lamina retardadora que introduce un desfase $\delta$ entre las componentes $\parallel$ y $\bot$ respecto de los ejes extraordinario (E) y ordinario (O) de la lamina y a la salida ponemos un polarizador, la intensidad tras dicho polarizador es:
  • $I_\parallel = \frac{I_o}{2} (1 + \cos \delta )$ si el eje del polarizador es paralelo al campo E.
  • $I_\bot = \frac{I_o}{2} (1 - \cos \delta )$ si el eje del polarizador es perpendicular al campo E.

Interferencias

Producidas cuando 2 o más señales llegan con una diferencia de fase $\Delta\epsilon$ constante $ \longrightarrow$ señales coherentes. La diferencia de fase está en el rango $[0, 2\pi]$

$\Delta\epsilon$ (rad)Desplazamiento relativo ($\lambda$)
$ 0 $$ 0 $
$ \pi/2 $$ \lambda/4 $
$ \pi $$ \lambda/2 $
$ 3\pi/2 $$ 3\lambda/2 $
$ 2\pi $$ \lambda $

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