Óptica 1
Definiciones
Vector de Poynting (W/m^2):
$$
\vec{S} = c^2\epsilon_0 \vec{E} \times \vec{B}
$$
En el caso de una onda plana armónica linealmente polarizada $\vec{E}=\vec{E_0}\cos(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega
t)$ y $\vec{B}=\vec{B_0}\cos(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)$, el vector de Poynting es $\vec{S}=c^2\epsilon_0
\vec{E_0} \times \vec{B_0} \cos^2(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)$. A frecuencias ópticas ($\approx 10^{15}$ Hz)
$S$ es una función extremadamente rápida, además, el coseno cuadrado es 2 veces más rápido que el coseno. La
medida directa de su valor instantáneo es muy difícil y poco práctica, por eso, se usan un promediado: la
irradiancia.
Irradiancia (W/m^2) de una onda electromagnética: $$ I = \frac{1}{2}\epsilon_0 c \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \left|\vec{E}(\vec{r}, t)\right|^2 dt $$
Ecuaciones de Fresnel
De un análisis electromagnético usando la ecuaciones de Maxwel- de una onda en una interfaz entre dos medios surgen de forma inmediata las ecuaciones de Fresnell, que relacionan ángulos y amplitud de la onda refleja y transmitida. Son las ecuaciones de Fresnell las que muestran, por ejemplo, porque casi cualquier superficie se comporta como un espejo cuando el ángulo de incidencia es casi 90º
Una onda electromagnética de frecuencia $\omega$ —monocromática— siempre puede descomponerse en la suma de dos ondas linealmente polarizadas y perpedicularres: una onda $\vec{E}_\bot$ con polarización perpendicular al plano de incidencia y otra onda $\vec{E}_\parallel$ con polaración paralela a dicho plano. Cada una de estas dos ondas componentes tiene un coeficiente de reflexión y transmisión distinto: $$ \vec{E}(r, t) = \vec{E}_\bot(r, t) + \vec{E}_\parallel(r, t) $$
Coeficientes de reflexión y transmisión de amplitud
Los coeficientes de reflexión $r\bot$ y de transmisión $t_\bot$ para la amplitud de la onda perpendicular son:
\[ r_\bot = \left( \frac{E_{0r}}{E_{0i}} \right)_{\bot} = \frac{n_i \cos \theta_i - n_t \cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i - n_t \cos \theta_t} = - \frac{\sin(\theta_i - \theta_t) }{ \sin(\theta_i + \theta_t) } \\ t_\bot = \left( \frac{E_{0t}}{E_{0i}} \right)_{\bot} = \frac{2 n_i \cos \theta_i}{n_i \cos \theta_i - n_t \cos \theta_t} \]
Los coeficientes de reflexión $r_\parallel$ y de transmisión $t_\parallel$ para la amplitud de la onda paralela son:
$$ r_\parallel = \left( \frac{E_{0r}}{E_{0i}} \right)_{\parallel} = \frac{n_t \cos \theta_i - n_i \cos \theta_t}{n_i \cos \theta_t - n_t \cos \theta_i} = \frac{\tan(\theta_i - \theta_t) }{ \tan(\theta_i + \theta_t) } \\ t_\parallel = \left( \frac{E_{0t}}{E_{0i}} \right)_{\parallel} = \frac{2 n_i \cos \theta_i}{n_i \cos \theta_t - n_t \cos \theta_i} = + \frac{2\sin(\theta_t)\cos(\theta_i)}{\sin(\theta_i + \theta_t)\cos(\theta_i - \theta_t)} $$Coeficientes de reflectancia y transmitancia de potencia
Los coeficientes de reflexión $r$ y de transmisión $t$ sirven para calcular la amplitud de las ondas reflejada y transmitida, respectivamente. Los coeficientes de reflectancia $R$ y de transmitancia $T$ permiten calcular la potencia reflejada y transmitida, respectivamente.
$$ R + T = 1 $$ \[ R_\parallel = r_\parallel^2 = \frac{ \tan^2(\theta_i - \theta_t) }{ \tan^2(\theta_i + \theta_t) } \\ T_\parallel = 1- R_\parallel \] \[ R_\bot = r_\bot^2 = \frac{ \sin^2(\theta_i - \theta_t) }{ \sin^2(\theta_i + \theta_t) } \\ T_\bot = 1- R_\bot \] Para indicencia normal (\theta = 0) \[ R_\bot = R_\parallel = \left( \frac{ n_t - n_i }{ n_t + n_i } \right) \]Resultados útiles
Si un rayo polarizado linealmente atraviesa una lamina retardadora que introduce un desfase $\delta$ entre las componentes $\parallel$ y $\bot$ respecto de los ejes extraordinario (E) y ordinario (O) de la lamina y a la salida ponemos un polarizador, la intensidad tras dicho polarizador es:- $I_\parallel = \frac{I_o}{2} (1 + \cos \delta )$ si el eje del polarizador es paralelo al campo E.
- $I_\bot = \frac{I_o}{2} (1 - \cos \delta )$ si el eje del polarizador es perpendicular al campo E.
Interferencias
Producidas cuando 2 o más señales llegan con una diferencia de fase $\Delta\epsilon$ constante $ \longrightarrow$ señales coherentes. La diferencia de fase está en el rango $[0, 2\pi]$
| $\Delta\epsilon$ (rad) | Desplazamiento relativo ($\lambda$) |
|---|---|
| $ 0 $ | $ 0 $ |
| $ \pi/2 $ | $ \lambda/4 $ |
| $ \pi $ | $ \lambda/2 $ |
| $ 3\pi/2 $ | $ 3\lambda/2 $ |
| $ 2\pi $ | $ \lambda $ |