Mecánica clásica

Mecánica de Newton no relativista.

Notación

Dado un sistema de referencia S, formado por:

un origen en el espacio
un origen en el tiempo
tres ejes ortonormales orientados

$\mathbf{R_{cm}}$	Posición del centro de masas
$\mathbf{V_{cm}}$	Velocidad del centro de masas

Empleamos tres sistemas de referencia en la resolución de los ejercicios:

$S$ es el sistema de referencia inercial del laboratorio
$S''$ es un sistema de ejes paralelos a S pero ubicado en el centro de masas del sólido rígido en estudio
$S'$ es el sistema de ejes principales del sólido rígido ubicado en el centro de masas y solidario con el sólido rígido en estudio

Sólido rígido

Momento angular

$$ \mathbf{L} = M \mathbf{R_{cm}} \times \mathbf{V_{cm}} + \mathbf{I''_{cm}} \mathbf{\omega} $$ siendo $\mathbf{I''_{cm}}$ el tensor de inercia correspondiente a un sistema de referencia S'' con ejes paralalelos al sistema original S pero ubicado en el centro de masas. Por el teorema de Steiner es $\mathbf{I''_{cm}} = \mathbf{I} - \mathbf{I_M}$

La energía cinética $T$ tiene dos componentes:

traslacíón del centro de masas
y rotación del sólido rígido alrededor del centro de masas.

$$ \begin{align} T &= \frac{1}{2} M \mathbf{V_{cm}^2} + \frac{1}{2} \mathbf{\omega^T} \mathbf{I''_{cm}} \mathbf{\omega} \\ T &= \frac{1}{2} M \mathbf{V_{cm}^2} + \frac{1}{2} \mathbf{\omega'^T}(t) \mathbf{I'_{D}} \mathbf{\omega'}(t) \end{align} $$

La relación entre los tensores de inercia es $ \mathbf{I''_{cm}}(t) = R^T(t)\mathbf{I'_D} R(t) $. Nótese que el tensor de inercia en el sistema de ejes principales $\mathbf{I'_D}$ es diagonal e independiente del tiempo.
Las ecuaciones de evolución del sólido rígido son las ecuaciones de Euler: \[ \mathbf{\dot{L}'} = \mathbf{N'^{ext}} = \mathbf{I'_D} \mathbf{\dot{\omega}'} + \mathbf{\omega'} \times \mathbf{L'} \] que en forma escalar es un sistema de tres ecuaciones diferenciales acopladas difíles de resolver en general \[ \begin{align} I'_{xx} \dot{\omega}_x' - (I_{yy}' - I_{zz}')\omega_y'\omega_z' &= N_x'^{ext} \\ I'_{yy} \dot{\omega}_y' - (I_{zz}' - I_{xx}')\omega_z'\omega_x' &= N_y'^{ext} \\ I'_{zz} \dot{\omega}_z' - (I_{xx}' - I_{yy}')\omega_x'\omega_y' &= N_z'^{ext} \end{align} \] Algunas observaciones importantes:

El movimiento de rotación solo se produce sin torque externo (momento externo) si se produce entorno a un eje principal. Esta característica sorprendente lo diferencia del movimiento lineal
Un eje de simetría siempre es eje principal. Puede haber infinitos sistemas de ejes principales, pensemos en un cilindro, los ejes X y Y son ejes principales y si los rotamos en ese mismo plano lo seguirán siendo.
Los vectores $\mathbf{L}$ y $\mathbf{\omega}$ solo estarán alineados si el eje de rotación es fijo y es un eje principal. En este caso ambos estarán alineados con dicho eje principal.

Gravitación y fuerzas centrales

Campos de fuerza centrales

Conservan la energía. La energía mecánica total $E = E_c + E_p$ se conserva
Conservan el momento angular. El movimiento está confinado en un plano.

Expresando la posición de una partícula de masa $m$ en coordenadas polares. Su energía total $E$ es la suma de la energía cinética radial, la energía cinética tangencial y la energía potencial $ E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}m\dot{r}^2 \dot{\theta}^2 + V(r)$

Movimiento de una partícula en un campo central

La acelaración en coordenadas polares es $\ddot{r} = a = (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2) \hat{r} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}) \hat{\phi} $, la componente $\hat{\phi}$ también puede escribirse como $\frac{1}{r}\frac{d}{dt} (r^2\dot{\theta})$

Campo gravitatorio

En el caso del campo gravitatorio, que es un campo de fuerza central del tipo $V(r) = -\alpha r^{-1}$ con $\alpha = G M_0 m$ la relación entre energía y excentricidad es:

$E < 0 \implies 0 \leq e < 1$ Trayectoria cerrada = órbita, será una elipse en general (circunferencia cuando E es mínima)
$E = 0 \implies e = 1$ Trayectoria parabólica
$E > 0 \implies e > 1$ Trayectoria hiperbólica

Trucos: si aportamos impulso en los extremos el eje mayor (apocentro y pericentro de la órbita) incrementamos la energía dejando invariable el momento angular.

Ecuación de la órbita

\[ \begin{align} \frac{p}{r} = 1 + e\cos\theta \\ p = \frac{L^2}{m\alpha} = \frac{a^3}{b^2} \\ \alpha = G M_0 m \\ e = \sqrt{1 + \frac{2L^2}{m\alpha^2}E} = \sqrt{1 + \frac{2}{\alpha}pE} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} \\ \end{align} \]

La energía $E$ de un satélite en órbita es simplemente la suma de su energía cinética y su energía potencial. \[ E = \frac{1}{2}mv^2 + (-\frac{GMm}{r}) \] En coordenadas polares podemos ver más claramente las dos partes de la energía cinética, la energía asociada a la componente radial de la velocidad y a la componente tangencial \[ \begin{align} E &= \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 + V(r) \\ E &= \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \left( \frac{L^2}{2mr^2} + V(r) \right) \end{align} \] siendo el término entre paréntesis el potencial efectivo.
En una órbita circular la fuerza gravitoria está en equilibrio con la fuerza centrífuga y la energía es la mínima posible.