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Manual de matemáticas

Identidades notables

Binomio al cuadrado:

Binomio al cubo: Suma por diferencia: Binomio de Newton: \[ (a + b)^N = \sum_{k = 0}^{N} \frac{N!}{k! (N - k)!} a^{N - k}b^k \]

Funciones trigonométricas

Angulos complementarios: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \cos(a) \] \[ \sin\left(a + \frac{\pi}{2} \right) = -\cos(a) \] \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \sin(a) \] \[ \cos\left(a + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin(a) \] Identidad pitagórica: \[ \sin^2(a) + \cos^2(b) = 1 \] Seno y coseno de la suma:
\[ \sin(a \pm b) = \sin(a)\cos(b) \pm \cos(a)\sin(b) \] \[ \cos(a \pm b) = \cos(a)\cos(b) \mp \sin(a)\sin(b) \] \[ \tan(a \pm b) = \frac{ \tan(a) \pm \tan(b) }{ 1 \mp \tan(a)\tan(b) } \] De suma a producto: \[ \cos(a) + \cos(b) = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \] \[ \cos(a) - \cos(b) = -2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right) \] \[ \sin(a) + \sin(b) = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \] \[ \sin(a) - \sin(b) = -2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right) \] Teorema del seno: \[ \frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} \] Teorema del coseno: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \] Angulo doble: \[ \cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) \] \[ \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) \]

Propiedades del producto vectorial

\[ \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = - \boldsymbol{B} \times \boldsymbol{A} \] \[ (\alpha \boldsymbol{A}) \times \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} \times (\alpha \boldsymbol{B}) \] \[ \boldsymbol{A} \times (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{C} \] \[ \boldsymbol{A} \times (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C}) = (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \times \boldsymbol{C} \] \[ \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C}) - \boldsymbol{C}(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}) \]

Álgebra

\[ A^{-1}= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{det A}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]

Geometría

Las curvas cónicas: elipse/circunferencia, parábola e hipérbola. Cada curva se caracteriza por su excentricidad $e$. La ecuación de la elipse \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} \]

Solución de una ecuación de segundo grado

When \(a \ne 0\), there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are \[x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.\]

Distribuciones de probabilidad

Distribución binómica

Si realizamos N experimentos de Bernoulli todos ellos estadísticamente independientes entre sí y con probabilidad de éxito $p$ y probabilidad de fracaso $q = 1 -p$ entonces la probabilidad de tener $n$ éxitos es \[ Binomial(n, N, p) = \frac{N!}{n! (N - n)!} p^n q^{N - n} \] La media es $E(X) = Np$ La varianza es $Var(X) = Npq$ La desviación típica es $\sigma(X) = \sqrt{Npq}$

Esperanza, varianza y desviación típica

La esperanza (también llamada valor medio media) de una V.A $X$ se define como \[ E(X) = \sum_{i = 0}^{N} p_i x_i \] La varianza de una V.A. $X$ es la dispersión entorno a la media E(X) y siempre es $Var(X) \geq 0$ \[ Var(X) = \sum_{i = 0}^{N} p_i (x_i - E(X))^2 \] La desviación típica es simplemente la raíz cuadrada de la varianza, mide igualmente la dispersión entorno a la media pero sus unidades son las mismas que las de la V.A. $X$. \[ \sigma(X) = \sqrt{ Var(X) } \]

Algunos desarrollos en serie

FunciónSerie
\[ \sum_{n = 0}^{\infty} z^n \]\[ \frac{1}{1 - z} \]
\[ \sum_{n = 0}^{N} z^n \] \[ \frac{1 - z^{N+1}}{1 - z} \]
\[ e^z \] \[ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \]
\[ \cos(z) \] \[ 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \ldots = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} \]
\[ \sin(z) \] \[ \frac{z}{1!} - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \ldots = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n + 1}}{(2n + 1)!} \]
\[ \cosh(z) \] \[ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{ (z + 2\pi i)^{2n} }{ (2n)! } \]
\[ \sinh(z) \] \[ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{ z^{2n + 1} }{ (2n + 1)! } \]
Taylor: \[ f(a + \delta x) \] \[ f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(\delta x)^1 + \frac{f''(a)}{2!}(\delta x)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(\delta x)^3 + ... \] \[ \delta x = x - a \]
\[ \frac{a}{1 - x} \] \[ a + ax + ax^2 + ax^3 + ..., \text{con}\ \ 0 < x < 1 \]

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Descripción Ecuación Solución
$ \dot{q} = \alpha q $ $ q(t) = q_0 e^{\alpha t} $
Aceleración constante $a$ con fricción proporcional a la velocidad $ \ddot{q} = a - b \dot{q} $ $ \dot{q}(t) = \frac{a}{b} + (\dot{q}_0 - \frac{a}{b}) e^{-bt} $
Oscilador armónico simple. Por ejemplo: péndulo simple con oscilaciones pequeñas, oscilador masa-muelle, etc. $ \ddot{q} + \omega^2 q = 0 $ $ q(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ siendo $$ A = \sqrt{q_0^2 + \dot{q}_0^2 / \omega^2 },\ \phi = \arccos{\frac{\dot{q}_0 }{\sqrt{q_0^2 \omega^2 + \dot{q}_0^2 }}} $$ o bien $$ A = \frac{\sqrt{q_0^2\omega^2 + \dot{q}_0^2 }}{\omega},\ \phi = \arctan\left(-\frac{\dot{q}_0 }{q_0\omega}\right) $$

Sistemas de coordenadas

Cilíndricas/polares

Los vectores unitarios $\hat{r}$ y $\hat{\phi}$ no son constantes, dependen de la posicion $r$ y $\phi$ y por lo tanto hay que integrarlos y derivarlos.

Operador gradiente:

\[ \nabla = \frac{\partial}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi} \hat{\phi} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{z}\]

Esféricas

  • la coordenada radial va de 0 a $\infty$
  • la coordenada acimutal $\phi$ va de 0 a 360 grados
  • la coordenada polar o de colatiud $\theta$ de 0 a 180 grados

Los vectores unitarios $\hat{r}$, $\hat{\theta}$ y $\hat{\phi}$ no son constantes, dependen de la posicion ($r$, $\theta$, $\phi$) y por lo tanto hay que integrarlos y derivarlos. Forma una base dextrógira cuando se ordenan en la forma ($r$, $\theta$, $\phi$)

Paso de coordenadas esféricas a rectangulares:

\[ \begin{align} x &= r \sin\theta \cos\phi \\ y &= r \sin\theta \sin\phi \\ z &= r \cos\theta \end{align} \]

De la base rectangular a la base esférica

\[ \begin{align} \mathbf{u_r} &= \sin\theta\cos\phi \mathbf{u_x} + \sin\theta\sin\phi\mathbf{u_y} + \cos\theta\mathbf{u_z} \\ \mathbf{u_\theta} &= \cos\theta\cos\phi \mathbf{u_x} + \cos\theta\sin\phi\mathbf{u_y} - \sin\theta\mathbf{u_z} \\ \mathbf{u_\phi} &= -\sin\phi\mathbf{u_x} + \cos\phi\mathbf{u_y} \end{align} \]

Operador gradiente:

\[ \nabla = \frac{\partial}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r\sin(\theta)}\frac{\partial}{\partial \phi} \hat{\phi} \]

El convenio internacional y el de EE.UU. tienen los angulos $\phi$ (azimut) y $\theta$ (colatitud) intercambiados asi que cuidado al consultarlas en la bibliografia porque varian segun el libro de texto. Las expresiones anteriores y el diagrama corresponden al convenio internacional.

Rectangulares

Operador gradiente:

\[ \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{y} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{z} \]

Aproximaciones

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