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Vibraciones y ondas

Resumen de vibraciones y ondas

Definiciones previas

  • MAS = Movimiento Armónico Simple, es decir, de la forma $A\cos(\omega t+\phi)$.
  • La relación de Eurler $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$ es una de las relaciones más importante en Matemática.
  • Dos números reales $\omega_1$ y $\omega_2$ son conmensurables si su cociente $\omega_1/\omega_2$ puede expresarse como el cociente de dos números enteros $n_1/n_2$, es decir, $\omega_1/\omega_2 \in \mathbb{Q}$

Transformación fasorial o de Fresnel

Un fasor es un vector de $\mathbb{R}^2$ rotatorio con velocidad angular $\omega$ constante y del que solo conservamos la información sobre su amplitud $A$ y su fase inicial $\theta$ (es decir, la fase en $t = 0$) expresada como número complejo en forma polar. $$ A \left( \cos(\omega t + \theta), \sin(\omega t + \theta) \right) \longrightarrow Ae^{j\theta} $$ Algunas transformadas básicas y la transformada inversa:

SinusoideFasor
$x(t) = A\cos(\omega t + \theta)$$\longrightarrow$$\mathbf{x} = Ae^{j\theta}$
$x(t) = A\sin(\omega t + \theta)$$\longrightarrow$$\mathbf{x} = Ae^{j(\theta - \pi/2)}$
$x(t) = \text{Re}[\mathbf{x} e^{j\omega t}]$$\longleftarrow$$\mathbf{x}$
La derivada y la integral de un fasor son: $$ \begin{align} \frac{d\mathbf{x}}{dt} &= j\omega \mathbf{x} \\ \int \mathbf{x} dt &= \frac{1}{j\omega} \mathbf{x} \end{align} $$

Suma de vibraciones armónicas simples

No siempre que sumamos M.A.S. obtenemos un M.A.S. Pensemos en la superposición de ondas —de una sola frecuencia— en un punto del espacio, que da lugar al fenómeno de la interferencia. La suma no siempre es un M.A.S.: puede ser un batido, puede valer cero (interferencia destructiva), etc.

Suma de vibraciones paralelas

Sean unas vibraciones de la forma $$ \eqalign{ x_1(t) &= A_1\cos(\omega_1t + \theta_1) \\ x_2(t) &= A_1\cos(\omega_2t + \theta_2) \\ \vdots \\ } $$ superpuestas, es decir, sumadas, $x(t) = x_1(t) + x_2(t) + \cdots$

Suma de dos vibraciones de igual $\omega$ e igual $A$

En este caso $\omega_1 = \omega_2$ y $A_1 = A_2 = A$, la suma vale $$ x = 2A\cos\left(\frac{\phi_2-\phi_1}{2}\right)e^{j\frac{\phi_1+\phi_2}{2}} $$

Suma de dos vibraciones de igual $\omega$ y distinta $A$

Usando los fasores correspondientes a las dos vibraciones tenemos $$ z_1 = A_1e^{j\phi_1} \\ z_2 = A_2e^{j\phi_2} $$ la suma es $$ z = z_1 + z_2 = Ae^{j\phi} $$ siendo $$ A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\delta \\ \delta = \phi_2 - \phi_1 $$

Caso particular: Suma de N vibraciones de igual $\omega$, igual $A$ y desfase constante $\delta$ entre ellas

Este caso particular es muy importante, aparece por ejemplo en el estudio de la interferencia entre N fuentes ondulatorias. Sean $N$ vibraciones armónicas de igual amplitud $A$ con desfase constante $\delta$ entre cada par de ellas $$ \eqalign{ x_0(t) &=& A\cos(\omega t) \\ x_1(t) &=& A\cos(\omega t + \delta) \\ x_2(t) &=& A\cos(\omega t + 2\delta) \\ &\hskip0.25em\vdots& \\ x_{N-1}(t) &=& A\cos\left(\omega t + (N-1)\delta\right) \\ } $$ la suma es $$ x(t) = A\frac{ \sin\left(\frac{N\delta}{2}\right) }{ \sin\left(\frac{\delta}{2}\right) } \cos\left(\omega t + \frac{N-1}{2}\delta\right) $$

Suma de dos vibraciones paralelas de distinta pero parecida $\omega$ e igual A

Sea $$ x(t) = A\cos(\omega_1t + \phi_1) + A\cos(\omega_2t + \phi_2) $$ ahora $\omega_1 \neq \omega_2$ pero $\omega_1 \approx \omega_2$, como las frecuencias no son iguales no podemos usar fasores para hacer el cálculo, los fasores son útiles solamente para sumar vibraciones de la misma frecuencia.

  • Si $\omega_1/\omega_2$ es conmensurable la suma $x(t)$ es periódica, pero no es un MAS, se produce un fenómeno llamado batido.
  • Si $\omega_1/\omega_2$ no es conmensurable, entonces $x(t)$ no es periódico.
La suma es $$ x(t) = 2A\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t + \frac{\phi_1-\phi_2}{2}\right) \cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t + \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right) $$ vemos que hay dos términos: el primero es la señal moduladora y el segundo la señal modulada. Ojo: la frecuencia del batido es el doble de la frecuencia de la señal moduladora, esto es así porque es la frecuencia del módulo del coseno $|\cos|$. Por lo tanto la frecuencia del batido es $\nu_{beat} = \omega_1-\omega_2$

Suma de dos vibraciones perpendiculares

Sean dos vibraciones $$ \eqalign{ x(t) &= A_x\cos(\omega_xt + \theta_x) \\ y(t) &= A_y\cos(\omega_yt + \theta_y) \\ } $$ que constituyen las coordenadas de un punto $P = (x(t), y(t))$, este punto $P$ se moverá con el tiempo $t$ y describirá una trayectoria en el plano. La curva resultante depende de las características de las vibraciones componentes. Se distinguen dos casos principales:

  • Si las frecuencias $\omega$ son iguales entonces aparece una figura que puede ser una elipses, incluyendo los dos casos degenerados de ella: la circunferencia o una tramo de línea recta
  • Si las frecuencias $\omega$ son distintas, $\omega_1$ y $\omega_2$ entonces aparecen unas figuras llamadas Figuras de Lissajous que pueden ser cerradas o abiertas:
    • Si $\omega_1$ y $\omega_2$ son conmensurables la curva es cerrada
    • Si $\omega_1$ y $\omega_2$ no son conmensurables la curva es abierta lo que significa que no pasa nunca por el mismo punto con la misma velocidad, esto tiene como consecuencia que transcurrido el tiempo suficiente la curva acabará llenando todo el rectángulo de área $A_1 \times A_2$
Fig 1 - Trayectoria cerrada (órbita)
Fig 2 - Trayectoria abierta (interrumpida)

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