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Óptica 1

Resumen
Resumen de óptica física. Propagación de la luz y óptica de rayos (geométrica).

De un análisis electromagnético usando la ecuaciones de Maxwel- de una onda en una interfaz entre dos medios surgen de forma inmediata las ecuaciones de Fresnell, que relacionan ángulos y amplitud de la onda refleja y transmitida. Son las ecuaciones de Fresnell las que muestran, por ejemplo, porque casi cualquier superficie se comporta como un espejo cuando el ángulo de incidencia es casi 90º

Ecuaciones de Fresnel

Una onda electromagnética de frecuencia $\omega$ —monocromática— siempre puede descomponerse en la suma de dos ondas linealmente polarizadas y perpedicularres: una onda $\vec{E}_\bot$ con polarización perpendicular al plano de incidencia y otra onda $\vec{E}_\parallel$ con polaración paralela a dicho plano. Cada una de estas dos ondas componentes tiene un coeficiente de reflexión y transmisión distinto: $$ \vec{E}(r, t) = \vec{E}_\bot(r, t) + \vec{E}_\parallel(r, t) $$

Coeficientes de reflexión y transmisión de amplitud

Los coeficientes de reflexión $r\bot$ y de transmisión $t_\bot$ para la amplitud de la onda perpendicular son:

\[ r_\bot = \left( \frac{E_{0r}}{E_{0i}} \right)_{\bot} = \frac{n_i \cos \theta_i - n_t \cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i - n_t \cos \theta_t} = - \frac{\sin(\theta_i - \theta_t) }{ \sin(\theta_i + \theta_t) } \\ t_\bot = \left( \frac{E_{0t}}{E_{0i}} \right)_{\bot} = \frac{2 n_i \cos \theta_i}{n_i \cos \theta_i - n_t \cos \theta_t} \]

Los coeficientes de reflexión $r_\parallel$ y de transmisión $t_\parallel$ para la amplitud de la onda paralela son:

$$ r_\parallel = \left( \frac{E_{0r}}{E_{0i}} \right)_{\parallel} = \frac{n_t \cos \theta_i - n_i \cos \theta_t}{n_i \cos \theta_t - n_t \cos \theta_i} = \frac{\tan(\theta_i - \theta_t) }{ \tan(\theta_i + \theta_t) } \\ t_\parallel = \left( \frac{E_{0t}}{E_{0i}} \right)_{\parallel} = \frac{2 n_i \cos \theta_i}{n_i \cos \theta_t - n_t \cos \theta_i} = + \frac{2\sin(\theta_t)\cos(\theta_i)}{\sin(\theta_i + \theta_t)\cos(\theta_i - \theta_t)} $$

Coeficientes de reflectancia y transmitancia de potencia

Los coeficientes de reflexión $r$ y de transmisión $t$ sirven para calcular la amplitud de las ondas reflejada y transmitida, respectivamente. Los coeficientes de reflectancia $R$ y de transmitancia $T$ permiten calcular la potencia reflejada y transmitida, respectivamente.

$$ R + T = 1 $$ \[ R_\parallel = r_\parallel^2 = \frac{ \tan^2(\theta_i - \theta_t) }{ \tan^2(\theta_i + \theta_t) } \\ T_\parallel = 1- R_\parallel \] \[ R_\bot = r_\bot^2 = \frac{ \sin^2(\theta_i - \theta_t) }{ \sin^2(\theta_i + \theta_t) } \\ T_\bot = 1- R_\bot \] Para indicencia normal (\theta = 0) \[ R_\bot = R_\parallel = \left( \frac{ n_t - n_i }{ n_t + n_i } \right) \]

Resultados útiles

Si un rayo polarizado linealmente atraviesa una lamina retardadora que introduce un desfase $\delta$ entre las componentes $\parallel$ y $\bot$ respecto de los ejes extraordinario (E) y ordinario (O) de la lamina y a la salida ponemos un polarizador, la intensidad tras dicho polarizador es:
  • $I_\parallel = \frac{I_o}{2} (1 + \cos^(\delta))$ si el eje del polarizador es paralelo al campo E.
  • $I_\bot = \frac{I_o}{2} (1 - \cos(\delta))$ si el eje del polarizador es perpendicular al campo E.

Referencias

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