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Mecánica clásica

Mecánica de Newton no relativista.

Notación

Dado un sistema de referencia S, formado por:

  • un origen en el espacio
  • un origen en el tiempo
  • tres ejes ortonormales orientados
$\mathbf{R_{cm}}$Posición del centro de masas
$\mathbf{V_{cm}}$Velocidad del centro de masas

Empleamos tres sistemas de referencia en la resolución de los ejercicios:
  • $S$ es el sistema de referencia inercial del laboratorio
  • $S''$ es un sistema de ejes paralelos a S pero ubicado en el centro de masas del sólido rígido en estudio
  • $S'$ es el sistema de ejes principales del sólido rígido ubicado en el centro de masas y solidario con el sólido rígido en estudio

Sólido rígido

Momento angular

$$ \mathbf{L} = M \mathbf{R_{cm}} \times \mathbf{V_{cm}} + \mathbf{I''_{cm}} \mathbf{\omega} $$ siendo $\mathbf{I''_{cm}}$ el tensor de inercia correspondiente a un sistema de referencia S'' con ejes paralalelos al sistema original S pero ubicado en el centro de masas. Por el teorema de Steiner es $\mathbf{I''_{cm}} = \mathbf{I} - \mathbf{I_M}$

La energía cinética $T$ tiene dos componentes:

  • traslacíón del centro de masas
  • y rotación del sólido rígido alrededor del centro de masas.

$$ \begin{align} T &= \frac{1}{2} M \mathbf{V_{cm}^2} + \frac{1}{2} \mathbf{\omega^T} \mathbf{I''_{cm}} \mathbf{\omega} \\ T &= \frac{1}{2} M \mathbf{V_{cm}^2} + \frac{1}{2} \mathbf{\omega'^T}(t) \mathbf{I'_{D}} \mathbf{\omega'}(t) \end{align} $$

La relación entre los tensores de inercia es $ \mathbf{I''_{cm}}(t) = R^T(t)\mathbf{I'_D} R(t) $. Nótese que el tensor de inercia en el sistema de ejes principales $\mathbf{I'_D}$ es diagonal e independiente del tiempo.
Las ecuaciones de evolución del sólido rígido son las ecuaciones de Euler: \[ \mathbf{\dot{L}'} = \mathbf{N'^{ext}} = \mathbf{I'_D} \mathbf{\dot{\omega}'} + \mathbf{\omega'} \times \mathbf{L'} \] que en forma escalar es un sistema de tres ecuaciones diferenciales acopladas difíles de resolver en general \[ \begin{align} I'_{xx} \dot{\omega}_x' - (I_{yy}' - I_{zz}')\omega_y'\omega_z' &= N_x'^{ext} \\ I'_{yy} \dot{\omega}_y' - (I_{zz}' - I_{xx}')\omega_z'\omega_x' &= N_y'^{ext} \\ I'_{zz} \dot{\omega}_z' - (I_{xx}' - I_{yy}')\omega_x'\omega_y' &= N_z'^{ext} \end{align} \] Algunas observaciones importantes:

  • El movimiento de rotación solo se produce sin torque externo (momento externo) si se produce entorno a un eje principal. Esta característica sorprendente lo diferencia del movimiento lineal
  • Un eje de simetría siempre es eje principal. Puede haber infinitos sistemas de ejes principales, pensemos en un cilindro, los ejes X y Y son ejes principales y si los rotamos en ese mismo plano lo seguirán siendo.
  • Los vectores $\mathbf{L}$ y $\mathbf{\omega}$ solo estarán alineados si el eje de rotación es fijo y es un eje principal. En este caso ambos estarán alineados con dicho eje principal.

Gravitación y fuerzas centrales

Campos de fuerza centrales

  • Conservan la energía. La energía mecánica total $E = E_c + E_p$ se conserva
  • Conservan el momento angular. El movimiento está confinado en un plano.
Expresando la posición de una partícula de masa $m$ en coordenadas polares. Su energía total $E$ es la suma de la energía cinética radial, la energía cinética tangencial y la energía potencial $ E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}m\dot{r}^2 \dot{\theta}^2 + V(r)$

Movimiento de una partícula en un campo central

La acelaración en coordenadas polares es $\ddot{r} = a = (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2) \hat{r} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}) \hat{\phi} $, la componente $\hat{\phi}$ también puede escribirse como $\frac{1}{r}\frac{d}{dt} (r^2\dot{\theta})$

Campo gravitatorio

En el caso del campo gravitatorio, que es un campo de fuerza central del tipo $V(r) = -\alpha r^{-1}$ con $\alpha = G M_0 m$ la relación entre energía y excentricidad es:

  • $E < 0 \implies 0 \leq e < 1$ Trayectoria cerrada = órbita, será una elipse en general (circunferencia cuando E es mínima)
  • $E = 0 \implies e = 1$ Trayectoria parabólica
  • $E > 0 \implies e > 1$ Trayectoria hiperbólica

Trucos: si aportamos impulso en los extremos el eje mayor (apocentro y pericentro de la órbita) incrementamos la energía dejando invariable el momento angular.

Ecuación de la órbita

\[ \begin{align} \frac{p}{r} = 1 + e\cos\theta \\ p = \frac{L^2}{m\alpha} = \frac{a^3}{b^2} \\ \alpha = G M_0 m \\ e = \sqrt{1 + \frac{2L^2}{m\alpha^2}E} = \sqrt{1 + \frac{2}{\alpha}pE} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} \\ \end{align} \]

La energía $E$ de un satélite en órbita es simplemente la suma de su energía cinética y su energía potencial. \[ E = \frac{1}{2}mv^2 + (-\frac{GMm}{r}) \] En coordenadas polares podemos ver más claramente las dos partes de la energía cinética, la energía asociada a la componente radial de la velocidad y a la componente tangencial \[ \begin{align} E &= \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 + V(r) \\ E &= \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \left( \frac{L^2}{2mr^2} + V(r) \right) \end{align} \] siendo el término entre paréntesis el potencial efectivo.
En una órbita circular la fuerza gravitoria está en equilibrio con la fuerza centrífuga y la energía es la mínima posible.

Referencias

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